数列的综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则此数列的奇数项的前 n 项和是 ( ) A.(2n+1-1) B.(2n+1-2) C.(22n-1) D.(22n-2) 解析:由 Sn=2n-1,得 an=2n-1, ∴数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. ∴此数列的奇数项的前 n 项和为==(22n-1). 答案:C 2.已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0<logm(ab)<1,则 m 的取值 范围是 ( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,8) D.(8,+∞) 解析:∵a,b,a+b 成等差数列, ∴2b=2a+b,b=2a.① ∵a,b,ab 成等比数列, ∴a≠0,b≠0,且 b2=a2b,b=a2.② 由①②知 a2=2a,a=2,b=4,ab=8. ∵0<logm(ab)=logm8<1,∴m>8. 答案:D 3.一套共 7 册的书计划每两年出一册,若出完全部,各册书公元年代之和为 13958,则 出齐这套书的年份是 ( ) A.1994 B.1996 C.1998 D.2000 解析:设出齐这套书的年份是 x, 则(x-12)+(x-10)+(x-8)+…+x=13958, ∴7x-=13958, x=2000. 答案:D 4.(2009·宁夏 银 川一模 )已知正数 组 成的等差数列 {an}的前 20 项 的和 为 100,那么 a7·a14 的最大值为 ( ) A.25 B.50 C.100 D.不存在 解析:由 S20=100 得 a1+a20=10,∴a7+a14=10. 又 a7>0,a14>0, ∴a7·a14≤()2=25. 答案:A 5.(2009·河南郑州一模 )数列{an}中,a1=1,an,an+1 是方程 x2-(2n+1)x+=0 的两 个根,则数列{bn}的前 n 项和 Sn 等于 ( ) A. B. C. D. 解析:∵an,an+1 是方程 x2-(2n+1)x+=0 的两个根, ∴an+an+1=2n+1,an·an+1=. ∴bn=. 又 a1=1,∴a2=2,a3=3,…,an=n. ∴Sn=b1+b2+…+bn=++…+ =1-+-+…+- =1-=. 答案:B 6.已知数列{an}的通项公式 an=3n2-(9+a)n+6+2a(其中 a 为常数),若 a6 与 a7 两项 中至少有一项是 an 的最小值,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.[24,36] B.[27,33] C.{a|27≤a≤33,a∈N*} D.{a|24≤a≤36,a∈N*} 解析:设 f(x)=3x2-(9+a)x+6+2a,其对称轴为 x=,当≤≤时,即 24≤a≤36 时,a6 与 a7 至少有一项是 an 的最小值. 1 答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 7.有这样一首诗:“有个学生资性好,一部《孟子》三日了,每日添增一倍多,问君每 日读多少?”(注:《孟子》全书共 34685 字,“一倍多”指一倍),由此诗知该君第二日读的 字数为__________. 解析:设第一日读的字数为 a,由“每日添增一倍多”得此数列是以 a 为首项,2 为公比 的等比数列,可求得三日共读的字数为= 7a=34685,解得 a=4955,∴2a=9910,即该君第 二日读的字数为 9910. 答案:9910 8.在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7,且 a1>0,Sn 是数列{an}前 n 项的和,若 Sn 取得最 大值,则 n=__________. 解析:设公差 d,由题设 3(a1+3d)=7(a1+6d), 所以 d=-a1<0. 解不等式 an>0,即 a1+(n-1)(-a1)>0,所以 n<,则 n≤9, 当 n≤9 时,an>0,同理可得 n≥10 时,an<0. 故当 n=9 时,Sn 取得最大值. 答案:9 9.已知数列{an}满足=(n∈N*),且 a1=1,则 an=__________. 解析:本题考查利用递推公式确定数列通项公式.据已知有: n≥2 时利用累乘法得: an =a1···…·=1····…··=,又验证知 a1=1 也适合,故 an=. 答案: 10.设函数 f(x)定义如下表,数列 {xn}满足 x0=5,且对任意自然数均有 xn+1=f(xn), 则 x2006 的值为__________. x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 解析:∵x0=5,xn+1=f(xn), ∴x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1, x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5. 从而知数列{xn}是以 4 为周期的数列,而 x2006=f(x2005)=f(x1)=f(2)=1. 答案:1 三、解答题(共 50 分) 11.(15 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225;数列{bn}是等比数 列,b3=a2+a3,b2b5=128. (1)求数列{an}的通项 an 及数列{bn}的前 8 项和 T8; (2)求使得>成立的正整数 n. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 由已知 a1+2d=5,15a1+×15×14d=225, 即解得 d=2,a1=1, 所以 an=2n-1. 设等比数列{bn}的公比为 q, 因为 b3=a2+a3,所以 b1q2=8, 因为 b2b5=128,所以 bq5=128, 解得 q=2,b1=2, T8==510. (2)>即>, 解之得 4<n<6,所以 n=5. 12.(15 分)(2010·福建泉州一模)某城市决定对城区住房进行改造,在新建住房的同时 拆除部分旧住房.第一年建新住房 a m2,第二年到第四年,每年建设的新住房比前一年增长 100%,从第五年起,每年建设的新住房都比前一年减少 a m2;已知旧住房总面积为 32a m2, 每年拆除的数量相同. (1)若 10 年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番,则每年拆除的旧住 房面积是多少 m2? (2)求前 n(1≤n≤10 且 n∈N)年新建住房总面积 Sn. 解:(1)10 年后新建住房总面积为 a+2a+4a+8a+7a+6a+5a+4a+3a+2a=42a. 设每年拆除的旧住房为 x m2, 则 42a+(32a-10x)=2×32a, 解得 x=a,即每年拆除的旧住房面积是 a m2. (2)设第 n 年新建住房面积为 a, 则 an= 所以当 1≤n≤4 时,Sn=(2n-1)a; 当 5≤n≤10 时,Sn=a+2a+4a+8a+7a+6a+…+(12-n)a=15a+=, 故 Sn= 13.(20 分)(2009·江西高考)各项均为正数的数列 {an},a1=a,a2=b,且对满足 m+n =p+q 的正整数 m,n,p,q 都有=. (1)当 a=,b=时,求通项 an; 2 (2)证明:对任意 a,存在与 a 有关的常数 λ,使得对于每个正整数 n,都有≤an≤λ. 解:(1)由= 得=, 将 a1=,a2=代入上式化简得 an=, 所以=·. 故数列{}为等比数列, 从而=,即 an=. 可验证,an=满足题设条件. (2)由题设的值仅与 m+n 有关,记为 bm+n,则 bn+1== 考察函数 f(x)=(x>0),则在定义域上有 f(x)≥g(a)= 故对 n∈N*,bn+1≥g(a)恒成立. 又 b2n=≥g(a),注意到 0<g(a)≤, 解上式得:=≤an≤, 取 λ=,即有≤an≤λ. 3 4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5

pdf文档 高考数学一轮复习知识点攻破习题:数列的综合应用

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